秩序変数の計算¶
これまでの計算で, クエンチされたゆらぎ(空間ゆらぎ)と時間ゆらぎを集団平均活動率 と秩序変数 で表すことが出来ると分かったが, 秩序変数 の計算方法がまだ分からないので, これでは答えを得たとは言えない. ここでは, 秩序変数 が満たすべき関係式 (自己無頓着 (self-consistent) 方程式) を導く.
平均場方程式の導出 と同様に, ニューロンの状態 を標準ガウス確率変数で書きなおそう. 今度は, 入力 のゆらぎをクエンチされたゆらぎ(空間ゆらぎ)と時間ゆらぎをに分け, それぞれ独立な標準ガウス確率変数 と で表す. [1] つまり, 確率変数 と は と を満たすとする. これらの確率変数を用いて入力を
と書いて実数 を求めよう. クエンチされたゆらぎの計算 の結果と
より, , 時間ゆらぎの計算 の結果と
より, が言える.
[1] | 確率変数 とある時間 における時間ゆらぎ成分を表す確率変数 は独立だが, 違う時間 と比べて, と が独立, という意味では ない. 確率変数 と はもちろん相関を持ち, その相関構造は の自己相関関数を計算することで理解できる. |
よって, ニューロンの状態 は
と書けることが分かった. この表式では, 時間平均 は確率変数 に関する平均と同値 (つまり, ) なので, は
(1)
と書ける. この表式を用いて を計算すると,
(2)
となる. クエンチされたゆらぎ が に依存していることを思い出せば, この式は秩序変数 が満たすべき関係式であり, を陰に定義していることが分かる.
時間ゆらぎが無い場合 :
は に依存しないので, [2] となるから, より,
である. 時間ゆらぎの計算 で導いた関係式より, となり, 時間ゆらぎが無いという仮定と整合性があるので, は式 (2) の解のひとつである. この解を, 原著 [vanVreeswijk1998] にならい 凍結解 (frozen solution) と呼ぶ. 時間ゆらぎは二乗の平均なので正, つまり は正である.
また, より, 各点 で だから, , つまり凍結解 は秩序変数 の上限を与えることが分かる.
[2] クエンチされたゆらぎがない場合 :
式 (2) に を代入すると, は に依存しなくなり,
となる. しかし, クエンチされたゆらぎの計算 で求めた関係式 にこれをあてはめると, または というトリビアルな状況を除けば, となり, 仮定 とは整合性がとれない. よって, は解ではない. 一方で, イェンゼンの不等式 (Jensen’s inequality) [3] を用いれば, , つまりクエンチされたゆらぎがない場合 が秩序変数 の下限を与えることが分かる.
[3] (下に)凸関数 と に関する平均 について, が成り立つ. これを, イェンゼンの不等式 (Jensen’s inequality) という. 参考: イェンゼンの不等式 - Wikipedia / Jensen’s inequality - Wikipedia